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Statistische Eigenschaften von Finanzzeitreihen im Vergleich zur Normalverteilung

Wertpapier-Renditen sind leider nicht normalverteilt, da ihre Entwicklung eher einem stochastischen Prozess folgt und sind daher nicht exakt berechenbar. Nichtsdestotrotz ist beobachtbar, dass bestimmte Kursveränderungen mit einer bestimmten Häufigkeit auftreten und somit diese sich sehr stark an der Normalverteilung orientieren.

Im Folgenden werden einige typische Eigenschaften von Finanzzeitreihen am Beispiel des DAX von 1989 bis 2014 beschrieben:

  • Wie am Histogramm sehr schön zu erkennen ist, sind Finanzzeitreihen nicht normalverteilt obwohl die Verteilung sehr ähnlich ist. Die Verteilung kann als steilgipflig (leptokurtisch) beschrieben werden. Somit ist Verteilung an den Rändern sowie an der Spitze deutlich höher als bei normalverteilten Renditen. In anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit von extremen Renditeausreißern (positiv wie negativ) sowie um den erwarteten Mittelwert sind höher als bei der Normalverteilung üblich.  
  • Die Volatilität (Schwankungsbreite/Standardabweichung) der Renditen ändert sich im Zeitablauf (siehe tägliche Renditen)
  • Des Weiteren existiert eine gewisse Form der Autokorrelation. Das heißt, die heutigen Renditen (t+0) sind nicht eindeutig unabhängig von den gestrigen Renditen (t-1) (siehe AutoCorrelationFunction der Renditen).
  • Da es eine sehr starke Autokorrelation bei den absoluten Renditen messbar ist, kann man daraus folgen, dass Finanzzeitreihen zusätzlich einem gewissen Volatilitätsclustering unterliegen. Das heißt auf betragsmäßige kleine Renditen folgen oft betragsmäßige kleine Renditen und auf betragsmäßige große Renditen (ruhige Phase) folgen ebenfalls betragsmäßige große Renditen (volatile Phase).

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Diese Eigenschaften sollten natürlich bei allen getroffenen Annahmen/Modellen berücksichtigt werden, bzw. ist die exakte Modellierung dieser Eigenheiten noch immer großer Bestandteil des quantitativen Risikomanagements.

Im nachfolgenden Chart ist sehr schön zu erkennen, dass die historischen Wahrscheinlichkeiten der Dax-Renditen sich zwar an der Normalverteilung orientiert, jedoch in manchen Bereichen sehr deutliche Abweichungen aufweist. Während sich bei der Normalverteilung ca. 68.2 Prozent der Beobachtungen innerhalb einer Standardabweichung befinden, ist die diese Wahrscheinlichkeit beim Dax deutlich ausgeprägter.

Diese beträgt ca. 75.5 Prozent und somit ist die Wahrscheinlichkeit dass der Dax täglich zwischen minus 1,41% und plus 1.48% schwankt deutlich höher. Dies ist bei erster Betrachtung halb so schlimm, jedoch kann man auch gut erkennen, dass das Eintreten von Extremfällen (Verteilung am Rand) ebenfalls höher ist. Genau diese kleinen Unterschiede zu modellieren, ist Bestandteil des modernen Risikomanagements.

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Ein paar Basics zu Beginn:

Der Mittelwert und seine verheerenden Folgen für ein angenehmes Fußbad!

Wie überall im Leben geht es auch bei der Veranlagung um Wahrscheinlichkeiten. Normalerweise oder besser gesagt, normalverteilterweise verwenden die meisten Leute einen Mittelwert um Schätzungen für bestimmte Ereignisse (in der Zukunft) zu treffen. Wie zum Beispiel: „Im Durschnitt können mit Aktien ca. 6-7% Rendite pro Jahr erzielt werden oder Durschnitt werden die Menschen in Österreich ca. 81 Jahre alt etc.

Das Problem bei einem Mittelwert ist, dass dieser sehr stark von Extrempunkten beeinflusst wird und somit recht irreführend sein kann. Ein berühmter Physiker hat mal gesagt: „Am linken Fuß ein Fußbad von -30 Grad und am rechten Fuß von 90 Grad und im Durschnitt erhält man ein angenehmes Fußbad von 30 Grad ((-30+90)/2=30). Wie sehr schön zu erkennen ist, sagt der Mittelwert wenig über die zugrundeliegende Verteilung aus. Interessant wäre somit ein weiterer Parameter, der darüber Auskunft gibt, wie sich der Mittelwert zusammen setzt.

Die Normalverteilung: Das Schweizer Messer der Statistik

Mit diesem Problem hat sich vor langer Zeit mal ein großer Mathematiker beschäftigt (Gauß). Gauß ist bei seinen Analysen draufgekommen, dass man zusätzlich zum Mittelwert noch mindestens einen weiteren Parameter braucht um konkretere Aussagen über die zugrundeliegende Verteilung machen zu können. Dabei hat er auch entdeckt, dass sehr viele Ereignisse in der Natur (Intelligenz, Einkommen, Körpergröße …) einer bestimmten Verteilung unterliegen. Da diese so häufig auftraten, wurde diese auch Normalverteilung genannt. Dies bedeutet beispielsweise, dass die meisten Menschen durchschnittlichen groß sind und nur sehr wenige sind sehr klein oder sehr groß.

Gauß hat des weiteren entdeckt, dass die Eigenschaften dieser Verteilung durch zwei Parameter, den Erwartungswert (Mittelwert/Durschnitt) sowie deren Schwankungsbreite (auch Standardabweichung bzw. Volatilität genannt) um ihren erwarteten Mittelwert, beschrieben werden kann. Mit anderen Worten, hat man mal den Mittelwert sowie deren Schwankungsbreite (auch STandardABWeichung) mal errechnet, kann man exakte Angaben über die zugrundeliegende Wahrscheinlichkeit treffen. Im Chart unten ist zu erkennen, dass sich ca. 68,2% der Erscheinungen innerhalb einer Standardabweichung befinden. Diese Aussage ist auf den ersten Blick nicht wirklich spannend, bringt aber beim genaueren Hinsehen sehr viel mehr Vorteile gegenüber einer normalen Mittelwertsbetrachtung. Erwähnt sollte noch werden, dass es natürlich weitere zentrale Momente einer Verteilung gibt (Schiefe und Wölbung, auf die aber hier nicht weiter eingegangen werden soll“)

Normalverteilung

Der Friseur, die Steuerprüfer und die Normalverteilung:

Viele Steuerprüfer benutzen die Standardabweichung um Steuersünder zu identifizieren. Zum Beispiel, aus historischen Messungen ist bekannt, dass ein Gast bei einem Friseur ca. 0.5 Tassen Kaffee zu sich nimmt. Die Schwankungsbreite/Standardabweichung um diesen Mittelwert beträgt plus/minus 0.1 Tassen. Mit diesen Informationen ist der Steuerprüfer nun in der Lage zu prüfen, ob der Kaffeeverbrauch (der vom Friseur natürlicherweise auch von der Steuer abgesetzt wird) mit der Anzahl der Kunden übereinstimmt.

Falls der Kaffeeverbrauch bei ca. 500 Tassen liegen würde, wäre somit der Mittelwert bei ca. 1000 Kunden (500/0.5). Da nicht jeder Kunde genau 0.5 Tassen trinkt, ergibt sich eine Schwankungsbreite/Standardabweichung von ca. 0.1 Tassen pro Kunde. Anhand der Normalverteilung, sollten ca. 68% der Erscheinungen innerhalb einer Standardabweichung (-1 Standardabweichung + Mittelwert + 1 Standardabweichung) liegen. Somit wäre eine Kundenanzahl von ca. 833 (500/0.4) bzw. 1250 (500/0.6) anhand des Kaffeeverbrauchs logisch. Würde der Friseur weniger als 833 Kunden angeben, so wäre die Wahrscheinlichkeit für solch ein Event nur 15.8% (13.6%+2.1%+0.1% = linke Seite der Verteilung). In solch einem Fall, würde der Steuerprüfer sich die Bücher des Friseurs sicherlich genauer ansehen. 

Pain or Gain? Standardabweichung als Risiko-/Ertragsmaß von Finanzzeitreihen

Bei historischen Renditen von Finanzzeitreihen kann ebenfalls ein Mittelwert bzw. eine Standardabweichung ermittelt werden. Die Volatilität/Schwankungsbreite kann als in Form von Tages-, Wochen-, Monats- oder Jahresschwankungen ausgedrückt werden. Somit ist die Volatilität/Standardabweichung die gängigste Form der Risikobestimmung eines zugrundeliegenden Wertpapiers.

Die Volatilität ermittelt die durchschnittliche Schwankungsbreite eines Kurses für eine bestimmte Periode um ihren Mittelwert. Statistisch gesehen, entspricht sie der Standardabweichung. Eine hohe Volatilität bedeutet, dass der Kurs eines Wertpapieres stark nach oben (positiv) oder unten (negativ) schwankt. Je höher die Volatilität eines Wertpapiers, desto höher sind die Ertrags- bzw. Verlustchancen.

Anbei ein Histogramm von deutschen Aktien (Dax) sowie deutschen Staatsanleihen (EFFAS Euro Gov > 1 Jahr). Der Dax hat eine historische jährliche Schwankungsbreite von 23% (entspricht ca. 1.4% am Tag), wobei europäische Staatsanleihen eine Volatilität von ca. 4% pro Jahr haben. Somit sollten naturgemäß natürlich die Ertrags- als auch die Verlustchancen vom Dax deutlich höher sein als bei Anleihen.

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Kein Taschenrechner bei der Hand? Daumenregeln für einen schnellen Überblick!

Da die Normalverteilung oft als Proxi für die Verteilung von Wertpapierrenditen herangezogen wird, ist es möglich sehr heuristische Annahmen abzuleiten. Angenommen ein Wertpapier hat eine jährliche Volatilität von ca. 20%. Des Weiteren nehmen wir einen Mittelwert von Null an (um das Kopfrechnen zu erleichtern).

Hat man erstmals beide Werte, so ist man in der Lage über die Normalverteilung diverse Annahmen über die zukünftige Entwicklung einer zugrundeliegenden Anlageklasse zu treffen.

Volatilität und Erwartungswerte:

Bei einer jährlichen Volatilität von 20%, liegt der jährliche erwartete Ertrag in 68.2% der Fälle zwischen +20 und -20% (innerhalb 1 Standardabweichung). Leichter gesagt, in 6.82 Jahren von 10 sollte sich der jährliche Ertrag irgendwo dazwischen befinden. Des Weiteren ist die Wahrscheinlichkeit einen jährlichen Ertrag zwischen 20% und 40% zu erwirtschaften, ca. 13.6%. Da sich ca. 95% aller möglichen Resultate innerhalb von 2 Standardabweichungen befinden, könnte man auch sagen dass man in 9.5 Jahren von 10 einen jährlichen Ertrag zwischen -40% und +40% erzielen sollte.

Normalverteilung_002

Zusätzlich könnte man die Volatilität auch noch die 3 bzw. 4 Standardabweichung heranziehen um die äußersten Extremfälle heuristisch abzuleiten (siehe Beschriftung Chart oben). In diesem Fall, wäre die maximale Verlustwahrscheinlichkeit größer gleich 60% (20% x minus 3x STABW), wobei natürlich zu berücksichtigen ist, dass jedes Investment natürlich auch 100% verlieren kann.

Um diese Daumenregel zu überprüfen, versuchen wir analysieren ob die jährlichen Erträge vom S&P 500 von 1928 bis 2013 der einigermaßen der Normalverteilung folgen. Die langfristige Volatilität des Index beträgt 18.8%. In anderen Worten, 68.2% der jährlichen Erträge sollten bei einem angenommenen Mittelwert von Null zwischen plus und minus 18.8% liegen.

Zu diesem Zwecke, sortieren wir mal die jährlichen Erträge des S&P 500 seit 1923 und zeichnen die dazugehörigen Standardabweichungen ein. Zusätzlich ermitteln wir die Anzahl der jährlichen Erträge die innerhalb einer Standardabweichung liegen.

SPX_Yearly_Sorted_001

Wie sehr schön zu erkennen ist, befinden sich 61.63% aller jährlichen Erträge innerhalb einer Standardabweichung und somit war die Normalverteilung ein guter Orientierungspunkt. Nichtsdestotrotz dient ein solch heuristischer Ansatz nur als schnelle Orientierungshilfe für das erwartete Auszahlungsprofil einer Anlageklasse, da die Verteilung an den Rändern deutlich abweicht und somit Finanzzeitreihen nicht normalverteilt sind!