Eingenschaften von Wertpapierrenditen

Statistische Eigenschaften von Finanzzeitreihen im Vergleich zur Normalverteilung

Wertpapier-Renditen sind leider nicht normalverteilt, da ihre Entwicklung eher einem stochastischen Prozess folgt und sind daher nicht exakt berechenbar. Nichtsdestotrotz ist beobachtbar, dass bestimmte Kursveränderungen mit einer bestimmten Häufigkeit auftreten und somit diese sich sehr stark an der Normalverteilung orientieren.

Im Folgenden werden einige typische Eigenschaften von Finanzzeitreihen am Beispiel des DAX von 1989 bis 2014 beschrieben:

  • Wie am Histogramm sehr schön zu erkennen ist, sind Finanzzeitreihen nicht normalverteilt obwohl die Verteilung sehr ähnlich ist. Die Verteilung kann als steilgipflig (leptokurtisch) beschrieben werden. Somit ist Verteilung an den Rändern sowie an der Spitze deutlich höher als bei normalverteilten Renditen. In anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit von extremen Renditeausreißern (positiv wie negativ) sowie um den erwarteten Mittelwert sind höher als bei der Normalverteilung üblich.  
  • Die Volatilität (Schwankungsbreite/Standardabweichung) der Renditen ändert sich im Zeitablauf (siehe tägliche Renditen)
  • Des Weiteren existiert eine gewisse Form der Autokorrelation. Das heißt, die heutigen Renditen (t+0) sind nicht eindeutig unabhängig von den gestrigen Renditen (t-1) (siehe AutoCorrelationFunction der Renditen).
  • Da es eine sehr starke Autokorrelation bei den absoluten Renditen messbar ist, kann man daraus folgen, dass Finanzzeitreihen zusätzlich einem gewissen Volatilitätsclustering unterliegen. Das heißt auf betragsmäßige kleine Renditen folgen oft betragsmäßige kleine Renditen und auf betragsmäßige große Renditen (ruhige Phase) folgen ebenfalls betragsmäßige große Renditen (volatile Phase).

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Diese Eigenschaften sollten natürlich bei allen getroffenen Annahmen/Modellen berücksichtigt werden, bzw. ist die exakte Modellierung dieser Eigenheiten noch immer großer Bestandteil des quantitativen Risikomanagements.

Im nachfolgenden Chart ist sehr schön zu erkennen, dass die historischen Wahrscheinlichkeiten der Dax-Renditen sich zwar an der Normalverteilung orientiert, jedoch in manchen Bereichen sehr deutliche Abweichungen aufweist. Während sich bei der Normalverteilung ca. 68.2 Prozent der Beobachtungen innerhalb einer Standardabweichung befinden, ist die diese Wahrscheinlichkeit beim Dax deutlich ausgeprägter.

Diese beträgt ca. 75.5 Prozent und somit ist die Wahrscheinlichkeit dass der Dax täglich zwischen minus 1,41% und plus 1.48% schwankt deutlich höher. Dies ist bei erster Betrachtung halb so schlimm, jedoch kann man auch gut erkennen, dass das Eintreten von Extremfällen (Verteilung am Rand) ebenfalls höher ist. Genau diese kleinen Unterschiede zu modellieren, ist Bestandteil des modernen Risikomanagements.

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